DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINU

Kata pengantar

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, karena kami telah diberikan kesempatan untuk menyelesaikan tugas makalah mata kuliah Statistik Ekonomi yang berjudul Distribusi Probabilitas Kontinu yang membahas lebih mendetail kepada distribusi probabilitas normal yang merupakan salah satu cabang dari judul kami

Dalam penyusunana makalah ini, kami mendapat banyak tantangan dan hambatanakan tetapi dengan bantuan dari berbagai pihak tantangan itu bisa teratasi. Olehnya itu, penulismengucapkan terima kasih sebesar-besarnya kepada semua puhak yang telah membantu dalam penyusunan makalah ini, semoga bantuannya dapat mendapat balasan yang setimpal dari Tuhan Yang Maha Esa

Kami menyadari bahwasanya makalah ini masih jauh dari kesempurnaan baik dari segi penyusunan maupun materinya

Akhir kata semoga makalah ini dapat membarikan manfaat bagi kita sekalian

Makassar, Mei 2012

Tim Penyusun

Daftar Isi

Kata pengantar.................................................................................................. 2

Daftar isi...........................................................................................................   3

BAB I PENDAHULUAN

          A. Latar Belakang..................................................................................    4

          B. Rumusan Masalah.............................................................................    5

BAB II ISI

          A. Sejarah Dan Pengertian Distribusi Normal......................................      6

          B.Persamaan Umum Distribusi Normal................................................     6

          C. Probabilitas.......................................................................................     7

          D. Sifat-sifat Distribusi Normal............................................................     8

          E. Ciri Distribusi Normal.....................................................................      9

          F. Kurva Distribusi Normal Standar.....................................................     9

          G. Luas di Bawah Kurva dan Probabilitas............................................     9

BAB III PENERAPAN DISTRIBUSI NORMAL

          Contoh soal 1.........................................................................................    11

          Contoh soal 2.........................................................................................    14

BAB IV PENUTUP

          Kesimpulan..........................................................................................      17

Bab 1

Pendahuluan

A. LATAR BELAKANG

Bila kita mengingat kembali pengetahuan mengenai data yang dikelompokkan menjadi bentuk tabel distribusi frekuensi. Kita telah mengetahui bahwa dengan tabel distribusi frekuensi itu kita dapat membuat histogram, poligon, ogif dan menentukan frekuensi kemiringan suatu distribusi data. Pandanglah histogram, poligon, dan kurva suatu distribusi data berikut ini

 

Ket :

        Histogram

          Poligon

                   Kurva

          Perhatikan bahwa dari poligon kita dapat melukis suatu kurva yang halus dan kontinu, yaitu grafik dari fungsi f(x). Dari kurva ini kita dapat menentukan bagaimana kemiringan dari suatu distribusi data.

          Kita telah mengetahui bahwa ada tiga jenis kemiringan, yaitu miring ke kiri, simetri, dan miring ke kanan seperti gambar berikut ini

x < med < mod                                       x = med = mod                                                                       mod < med < x

 

a. distribusi miring ke kiri           b. Distribusi simetri                           c. Distribusi miring ke kanan

Gambar a menunjukkan distribusi data miring kekiri dimana nilai rata-rata < median < modus. Kurva tidak simetris sebab puncaknya ada dibagian kanan tetapi data ada yang menyebar ke kiri. Gambar c menunjukkan keadaan sebaliknya, yaitu distribusi data miring ke kanan, dimana nilai modus < median < rata-rata. Kurva juga tidak simetris sebab puncaknya ada disebelah kiri sementara sedikit data ada yang menyebar ke kanan.

          Keadaan yang sangan menarik untuk diamati adalah distribusi data yang ditunjukkan oleh gambar b, dimana nilai rata-rata sama atau mendekati nilai modus dan median. Kurvanya simetri dengan puncak distribusi ada di tengah. Distribusi data yang ditunjukkan oleh gambar b disebut distribusi normal

B. Rumusan Masalah

a.    Apa pengertian distribusi normal ?

b.   Apa persamaan unum distribusi normal ?

c.   Apa sifat dan ciri distribusi normal ?

d.   Bagaimana contoh penerapan distribusi normal ?

Bab ii

Pembahasan

A.  SEJARAH DAN PENGERTIAN DISTRIBUSI NORMAL

Distribusi normal pertama kali diperkenalkan oleh Abraham de Moivre dalam artikelnya pada tahun 1733 sebagai pendekatan distribusi binomial untuk n besar. Karya tersebut dikembangkan lebih lanjut oleh Pierre Simon de Laplace, dan dikenal sebagai teorema Moivre-Laplace. Laplace menggunakan distribusi normal untuk analisis galat suatu eksperimen. Metode kuadrat terkecil diperkenalkan oleh Legendre pada tahun 1805. Sementara itu Gauss mengklaim telah menggunakan metode tersebut sejak tahun 1794 dengan mengasumsikan galatnya memiliki distribusi normal.

Istilah kurva lonceng diperkenalkan oleh Jouffret pada tahun 1872 untuk distribusi normal bivariat. Sementara itu istilah distribusi normal secara terpisah diperkenalkan oleh Charles S. Peirce, Francis Galton, dan Wilhelm Lexis sekitar tahun 1875. Terminologi ini secara tidak sengaja memiliki nama sama.

Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve) karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng.

Distribusi normal ini banyak digunakan dalam berbagai penelitian di bidang ilmu-ilmu biologi, kedokteran, fisika, sosial, dan lainnya. Selain itu, distribusi normal juga merupakan salah satu pendekatan penyelesaian yang cukup baik bagi distribusi-distribusi lain, termasuk distribusi bagi variebel diskrit seperti binominal dan poisson

B. PERSAMAAN UMUM DISTRIBUSI NORMAL

Distribusi normal mempunyai persamaan umum sebagai berikut :

Di mana : µ = rata-rata, σ = simpangan baku,  = 3,14159..., dan e = 2,71828...

f(x)

 

                                                -σ                  σ

                                                                                          x

                                              µ

Distribusi normal f (x) didefinisikan pada interval terbuka -∞ < x < +∞. Distribusi normal dengan parameter µ dan  σ²  biasanya ditulis N(µ, σ²). Dengan memperhatikan persamaan umum dan grafik distribusi normal f(x), tampak bahwa bentuk kura normal ditentukan oleh dua parameter, yaitu rata-rata (µ) dan simpangan baku (σ). Bila nilai σ mengecil, maka bentuk kura akan lebih rapat dan semakin runcing dan sebagian besar nilai x akan berkumpul atau mendekati nilai rata-rata µ. Sebaliknya mekin besar nilai σ, maka bentuk kurva akan lebih renggang dan tumpul, dimana sebagian besar nilai-nilai x akan menjauhi nilai rata-rata µ . Perhatikan gambar berikut yang menunjukkan uraian tiga distribusi data yang mempunyai simpangan baku σ₁, σ₂ dan, σ₃ serta rata-rata µ₁, µ₂, dan µ₃

    F(x)

                                                                                                                                                σ₁ < σ₂ < σ₃

                                                                                           σ₁                                                 µ₁ = µ₂ = µ₃

 

                                                                                                σ₂

                                                                                                                σ₃

                                                                                                                                                                       _x                                                                                                                                                                                      

C. PROBABILITAS P(a < x < b)

          Probabilitas distribusi normal f (x) pada interal a < x < b ditentukan dengan memakai luas daerah dibawah kurva f (x) sebagaimana ditunjukkan gambar berikut

          F(x)

 

                                                                    x

                        a        µ         c

Pada gambar, probabilitas P (a < x < b) ditunjukkan oleh luas daerah diarsir, yang dibatasi oleh kurva f(x), sumbu X, garis tegak X = a, dan X = b. Oleh karena f(x) merupakan fungsi kontinu, maka probabilitas P(a < x < b) dihitung dengan memakai  integral dari fungsi f(x) yang dibatasi oleh x = a dan x = b, yaitu :

P(a < x < b) =

Akan tetapi secara matematis bentuk integral dari fungsi f(x) tersebut sulit dipecahkan secara langsung dengan teknik integral. Oleh karena itu, penyelesaiannya dilakukan dengan memakai transformasi nilai-nilai X menjadi nilai-nilai baku Z, yaitu :

Z =

D. SIFAT-SIFAT DISTRIBUSI NORMAL

1. Rata-ratanya (mean) μ dan standard deviasinya = σ
2. Mode (maximum) terjadi di x = μ
3. Bentuknya simetrik terhadap x = μ
4. Titik belok tepat di x = μ±σ
5. Kurva mendekati nol secara asimptotis. semakin x jauh dari x=μ
6. Total luasnya = 1
7. Bentuk distribusi normal ditentukan oleh μ dan σ.

E. CIRI DISTRIBUSI NORMAL

1. Nilai mean, median dan modus adalah sama / berhimpit.
2. Kurvanya simetris
3. ASIMPTOTIK (fungsi yang dibatasi oleh suatu fungsi N yang cukup besar).
4. Luas daerah yang terletak dibawah kurva dan diatas garis mendatar = 1
5. Semakin besar nilai s , maka kurva akan semakin landai,

Dan semakin kecil nilai s maka kurva akan semakin melancip

F. KURVA DISTRIBUSI NORMAL STANDARD

Distribusi normal standard adalah distribusi normal dengan mean μ=0 dan standard deviasi σ=1.

Transformasi                         memetakan distribusi normal

menjadi distribusi normal standard, sebab distribusi normal dengan variabel z ini memiliki mean =0 dan standard deviasi = 1.

Transformasi ini juga mempertahankan luas dibawah kurvanya, artinya:

Luas dibawah kurva distribusi normal antara x1 dan x2  = Luas dibawah kurva distribusi normal standard antara z1 dan z2

 

Dengan z₁ = (x₁-μ)/σ dan z₂ = (x₂-μ)/σ.

Sehingga cukup dibuat tabel distribusi normal standard kumulatif saja!

G. LUAS DI BAWAH KURVA DAN PROBABILITAS

P(x₁<x<x₂) = probabilitas variabel random x memiliki nilai antara x₁ dan x₂

P(x₁<x<x₂) = luas di bawah kurva normal antara x=x₁ dan x=x₂

Oleh karena perhitungan integral normal tsb sulit, maka disusunlah tabel nilai rapat probabilitas. Akan tetapi karena nilai rapat probabilitasnya tergantung pada μ dan σ maka sangatlah tidak mungkin mentabelkan untuk semua nilai μ dan σ

Hubungan antara Distribusi Binomial dan Distribusi Normal

·         Jika N cukup besar dan jika tak satu pun dari p atau q sangat dekat dengan nol maka distribusi binomial dapat didekati atau diaproksimasi oleh sebuah distribusi normal dengan variabel terstandarisasi yang dirumiskan sebagai:

 

—  Pendekatan ini akan semakin baik seiring dengan semakin bertambah besarnya N. Dalam praktiknya, pendekatannya akan sangat bagus jika Np dan Nq kedua-duanya lebih besar daripada 5.

Bab iii

Penerapan distribusi normal

Contoh soal  1:

Dari penelitian terhadap 150 orang laki-laki yang berumur 40–60 tahun didapatkan rata-rata kadar kolesterol (μ) mereka 215 mg % dan simpangan baku σ = 45 mg %. Hitunglah peluang kita mendapatkan seorang yang kadar kolesterolnya:

a. < 200 mg %

b. > 250 mg %

Jawab :

Ilustrasi dari soal tersebut di atas ditunjukkan dalam Gambar berikut :

Untuk menghitung nilai probabiltas dari pertanyaan di atas, kita gunakan rumus fungsi probabilitas distribusi normal. Karena nilai probabilitas yang dibutuhkan adalah pada rentang nilai x tertentu, maka kita harus menggunakan integral untuk menghitungnya.

a. P (<200 mg) =

b.  P (> 250 mg) =

                                                                                        

Untuk mengatasi permasalahan di atas, terdapat cara lain untuk menghitung nilai peluang distribusi normal. Untuk menentukan nilai peluang pada soal di atas, kita pelajari dulu cara menghitung nilai Z dan membaca tabel luas kurva normal. Nilai Z didapat dengan rumus berikut:

Sedangkan tabel luas kurva normal adalah tabel yang memuat luas kurva normal dari titik minus tak hingga sampai titik x. Tabel luas kurva normal ini sangat bermanfaat untuk menghitung soal-soal seperti contoh soal 1b. Hanya saja, tabel kurva normal ini disusun berdasarkan nilai Z. Sehingga kita harus menghitung nilai Z terlebih dahulu.

Tabel luas kurva normal untuk distribusi normal ditunjukkan dalam Tabel 1a dan 1b.

Tabel 1a. Nilai luas kurva normal untuk nilai Z < 0 (negatif)

Tabel 1a. Nilai luas kurva normal untuk nilai Z > 0 (positif)

Penyelesaian contoh soal 1 dengan menggunakan tabel kurva normal.

Dari penelitian terhadap 150 orang laki-laki yang berumur 40–60 tahun didapatkan rata-rata kadar kolesterol (μ) mereka 215 mg % dan simpangan baku σ = 45 mg %. Hitunglah peluang kita mendapatkan seorang yang kadar kolesterolnya:

a. > 250 mg %

b. < 200 mg %

Jawab :

μ  = 215

σ = 45

Untuk memudahkan pengerjaan, kita kerjaan contoh soal 1.b terlebih dahulu.

b. P(x < 200)

Berdasarkan tabel kurva normal, untuk nilai Z = -0,67, luasnya adalah 0.2514. Sehingga peluang untuk menemukan laki-laki dengan kadar gula kurang dari 200 mg % adalah 0.2514.

a. P(x > 250)

Untuk menghitung sal 1a, kita cari dulu peluang menemukan laki-laki dengan kadar gula kurang dari 250 mg atau P (x <250 )

Berdasarkan tabel kurva normal, untuk nilai Z = 0.78, luasnya adalah 0.7794. Sehingga peluang untuk menemukan laki-laki dengan kadar gula kurang dari 250 mg % , P (x < 250) adalah 0.7794. Peluang untuk menemukan laki-laki dengan kadar gula lebih dari 250 mg % , atau P (x > 250) dapat dilakukan dengan cara berikut :

     P ( x > 250)        = 1 - P ( x < 250 )

                             = 1 - 0.7794

                             = 0.2206

Contoh Soal 2 :

Sebuah perusahaan bolam lampu mengetahui bahwa umur lampunya (sebelum putus) terdistribusi secara normal dengan rata-rata umurnya 800 jam dan standard deviasinya 40 jam. Carilah probabilitas bahwa sebuah bolam produksinya akan:

l  Berumur antara 778 jam dan 834 jam

l  Berumur kurang dari 750 jam atau lebih dari 900 jam

Jawab.

 μ= 800 σ=40.

l  P(778<x<834)

          x₁=778 à z₁ = (x₁-μ)/σ = (778-800)/40 = -0.55

          x₂=834 à z₂ = (x₂-μ)/σ = (834-800)/40 = 0.85

           P(778<x<834) = P(-0.55<z<0.85) = P(z<0.85)-P(z<-0.55)

                                 = 0.8023 – 0.2912 = 0.5111

           

b) Berumur kurang dari 750 jam atau lebih dari 900 jam

μ= 800 σ=40.

          P(x< 750 atau x>900)

          x₁=750 à z₁ = (x₁-μ)/σ = (750-800)/40 = -1.25

          x₂=900 à z₂ = (x₂-μ)/σ = (900-800)/40 = 2.5

          P(x< 750 atau x>900) = P(z<-1.25) + P(z>2.5)

                   = P(z<-1.25) + 1- P(z<2.5)

                   = 1 + P(z<-1.25) - P(z<2.5)

                   = 1 + 0.1056-0.9938 = 0.1118

           

Bab iv

Penutup

Kesimpulan

·         Distribusi Normal adalah model distribusi kontinyu yang paling penting dalam teori probabilitas. Distribusi Normal diterapkan dalam berbagai permasalahan. Distribusi normal memiliki kurva berbentuk lonceng yang simetris. Dua parameter yang menentukan distribusi normal adalah rataan / ekspektasi (μ) dan standar deviasi (σ). Dimana μ adalah rata-rata, σ adalah standar deviasi

·         Luas dibawah kurva distribusi normal antara x₁ dan x₂  = Luas dibawah kurva distribusi normal standard antara z₁ dan z₂

 

·         Transformasi                         memetakan distribusi normal

·         Semakin besar nilai s , maka kurva akan semakin landai,

Dan semakin kecil nilai s maka kurva akan semakin melancip

 Daftar pustaka

Boediono and Wayan Koester. 2004. Teori dan Aplikasi Statistika dan Probabilitas. Bandung: PT Remaja Rosdakarya

Harini, sri & Turmudi. 2008. Metode Statistika. Malang : UIN-Malang Press

Lasfeto, Deddy Barnabas. 2008. Analisis Statistika Deskriptif. Yogyakarta: Graha Ilmu

Spiegel, Murai R. 2010. Probabilitas dan Statistika. Jakarta : Erlangga