Sejarah Distribusi Normal

Distribusi normal pertama kali diperkenalkan oleh Abraham de Moivre dalam artikelnya pada tahun 1733 sebagai pendekatan distribusi binomial untuk n besar. Karya tersebut dikembangkan lebih lanjut oleh Pierre Simon de Laplace, dan dikenal sebagai teorema Moivre-Laplace. Laplace menggunakan distribusi normal untuk analisis galat suatu eksperimen. Metode kuadrat terkecil diperkenalkan oleh Legendre pada tahun 1805. Sementara itu Gauss mengklaim telah menggunakan metode tersebut sejak tahun 1794 dengan mengasumsikan galatnya memiliki distribusi normal.

Istilah kurva lonceng diperkenalkan oleh Jouffret pada tahun 1872 untuk distribusi normal bivariat. Sementara itu istilah distribusi normal secara terpisah diperkenalkan oleh Charles S. Peirce, Francis Galton, dan Wilhelm Lexis sekitar tahun 1875. Terminologi ini secara tidak sengaja memiliki nama sama.

Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve) karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng.

Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada ilmu alam maupun ilmu sosial. Beragam skor pengujian psikologi dan fenomena fisika seperti jumlah foton dapat dihitung melalui pendekatan dengan mengikuti distribusi normal. Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidang statistika, misalnya distribusi sampling rata-rata akan mendekati normal, meski distribusi populasi yang diambil tidak berdistribusi normal. Distribusi normal juga banyak digunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika, dan kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data.

Sifat-Sifat Distribusi Normal:

1. Rata-ratanya (mean) μ dan standard deviasinya = σ
2. Mode (maximum) terjadi di x = μ
3. Bentuknya simetrik terhadap x = μ
4. Titik belok tepat di x = μ±σ
5. Kurva mendekati nol secara asimptotis. semakin x jauh dari x=μ
6. Total luasnya = 1
7. Bentuk distribusi normal ditentukan oleh μ dan σ.

Ciri Distribusi Normal

1. Nilai mean, median dan modus adalah sama / berhimpit.
2. Kurvanya simetris
3. ASIMPTOTIK (fungsi yang dibatasi oleh suatu fungsi n    N yang cukup besar).
4. Luas daerah yang terletak dibawah kurva dan diatas garis mendatar = 1
5. Semakin besar nilai s , maka kurva akan semakin landai,

Dan semakin kecil nilai s maka kurva akan semakin melancip

Kurva DIstribusi Normal Standard

Distribusi normal standard adalah distribusi normal dengan mean μ=0 dan standard deviasi σ=1.

Transformasi                        memetakan distribusi normal

menjadi distribusi normal standard, sebab distribusi normal dengan variabel z ini memiliki mean =0 dan standard deviasi = 1.

Luas dibawah kurva distribusi normal antara x1 dan x2  = Luas dibawah kurva distribusi normal standard antara z1 dan z2

Transformasi ini juga mempertahankan luas dibawah kurvanya, artinya:

Dengan z₁ = (x₁-μ)/σ dan z₂ = (x₂-μ)/σ.

Sehingga cukup dibuat tabel distribusi normal standard kumulatif saja!

Luas di Bawah Kurva dan Probabilitas

P(x₁<x<x₂) = probabilitas variabel random x memiliki nilai antara x₁ dan x₂

P(x₁<x<x₂) = luas di bawah kurva normal antara x=x₁ dan x=x₂

Oleh karena perhitungan integral normal tsb sulit, maka disusunlah tabel nilai rapat probabilitas. Akan tetapi karena nilai rapat probabilitasnya tergantung pada μ dan σ maka sangatlah tidak mungkin mentabelkan untuk semua nilai μ dan σ

Hubungan antara Distribusi Binomial dan Distribusi Normal

·         Jika N cukup besar dan jika tak satu pun dari p atau q sangat dekat dengan nol maka distribusi binomial dapat didekati atau diaproksimasi oleh sebuah distribusi normal dengan variabel terstandarisasi yang dirumiskan sebagai:

 

—  Pendekatan ini akan semakin baik seiring dengan semakin bertambah besarnya N. Dalam praktiknya, pendekatannya akan sangat bagus jika Np dan Nq kedua-duanya lebih besar daripada 5.

Contoh Penerapan Distribusi Normal

Dari penelitian terhadap 150 orang laki-laki yang berumur 40–60 tahun didapatkan rata-rata kadar kolesterol (μ) mereka 215 mg % dan simpangan baku σ = 45 mg %. Hitunglah peluang kita mendapatkan seorang yang kadar kolesterolnya:
a. > 250 mg %
b. < 200 mg %

—  Jawab :

—  μ  = 215

—  σ = 45

Untuk memudahkan pengerjaan, kita kerjaan contoh soal 1.b terlebih dahulu.

b.  P(x < 200)

 

Berdasarkan tabel kurva normal, untuk nilai Z = -0,67, luasnya adalah 0.2514. Sehingga peluang untuk menemukan laki-laki dengan kadar gula kurang dari 200 mg % adalah 0.2514

a.    P(x > 250)

Untuk menghitung soal 1a, kita cari dulu peluang menemukan laki-laki dengan kadar gula kurang dari 250 mg atau P (x <250 )

 

Berdasarkan tabel kurva normal, untuk nilai Z = 0.78, luasnya adalah 0.7794. Sehingga peluang untuk menemukan laki-laki dengan kadar gula kurang dari 250 mg % , P (x < 250) adalah 0.7794. Peluang untuk menemukan laki-laki dengan kadar gula lebih dari 250 mg % , atau P (x > 250) dapat dilakukan dengan cara berikut :

          P ( x > 250) = 1 - P ( x < 250 )

                                      = 1 - 0.7794

                                      = 0.2206

Kata Pengantar

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat allah SWT, bahwa penulis telah menyelesaikan tugas makalah  mata kuliah statistik ekonomi dengan distribusi probabilitas kuntiou yang membahas lebih menditail kepada distribusi probabilitas normal yang merupakan salah satu cabang dari judul kami.

Dalam penyusunan makalah ini, penulis banyak mendapat tantangan dan hambatan akan tetapi dengan bantuan dari berbagai pihak tantangan itu bisa teratasi. Olehnya itu, penulis mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan makalah ini, semoga bantuannya mendapat balasan yang setimpal dari tuhan yang maha Esa.

Penulis menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kiesempurnaan baik dari bentuk penyusunan maupun materinya .

Akhir kata semoga makalah ini dapat memberikan manfaat kepada kita sekalian.

Kesimpulan

·         Distribusi Normal adalah model distribusi kontinyu yang paling penting dalam teori probabilitas. Distribusi Normal diterapkan dalam berbagai permasalahan. Distribusi normal memiliki kurva berbentuk lonceng yang simetris. Dua parameter yang menentukan distribusi normal adalah rataan / ekspektasi (μ) dan standar deviasi (σ). Dimana μ adalah rata-rata, σ adalah standar deviasi

_·         Luas dibawah kurva distribusi normal antara x₁ dan x_{2  = Luas dibawah kurva distribusi normal standard antara z1 dan z2}

 

·         Transformasi                        memetakan distribusi normal

·         Semakin besar nilai s , maka kurva akan semakin landai,

Dan semakin kecil nilai s maka kurva akan semakin melancip