Linear Programming Suatu Teknik Optimasi

Setelah memahami berbagai asumsi dasar serta bentuk model linear programming yang dikemukakan pada bagian terdahulu, langkah berikutnya adalah mulai mencoba memahami berbagai persoalan dasar yang dapat dipakai sebagai titik tolak pemahaman tehnik linear programming ini. Persoalan dasar pertam sebagai dasar, sering disebut sebagai permasalahan dengan jawaban tunggal seperti tampak berikut ini :

Persoalan pertama :

Pabrik baja “Baja Sari “ mempunyai 18 ton bahan mentah untuk diproses. Pimpinan pabrik menyetujui sebuah kontrak pembuatan 7,6 mur dan baut dari bahan yang tersedia. Selama proses produksi berlangsung, 5% bahan baja menghilang (dalam proses). Selain membuat mur dan baut, Baja Sari dapat menjual besi baja (berwujud bahan mentah) ke pabrik lain. Berapa jumlah besi baja yang dapat dijual sebagai bahan mentah, sementara kontrak tetap berjalan ?

Persoalan diatas merupakan suatu persoalan yang sangat sederhana. Variabel yang dikandungnya hanya sebuah, dan dapat dihitung dengan mudah. Misalkan besi baja yang dapat dijual berwujud bahan mentah adalah X ton. Sehingga pabrik tersebut mempunyai (18-x) ton besi baja yang dapat diproses menjadi baut dan mur. Tetapi 5% hilang selama proses berlangsung sehingga jumlah sesungguhnya baja yang dapat diproses menjadi mur dan baut adalah sebanyak :

(18 - x) -

Atau  (18 - x)

Jumlah ini adalah sama dengan 7,6 ton mur dan baut yang dihasilkan. Sehingga diperoleh persamaan:

 (18 - x) = 7,6

          18 – x =

X = 10

Jadi besi baja yang dapat dijual berwujud bahan mentah adalah sebanyak 10 ton.

Setelah memahami persoalan yang sederhana diatas, selanjutnya kita membicarakan persoalan yang lebih kompleks. Pada persoalan diatas, x merupakan variabel tunggal. Pada persoalan berikut, kita akan menghadapi persoalan dua variabel, sehingga memerlukan perhitungan-perhitungan yang lebih lengkap.

Persoalan 2 :

Pak W adalah seorang petani yang cukup kaya. Ia mempunyai 40 area tanah pertanian. Tanahnya terdiri dari 2 jenis. Sebagian berupa tanah kering dan sebagian berupa tanah basah. Ia menanami seluruh tanah kering dan separuh tanah basah yang dimilikinya dengan jagung.

Penghasilan yang didapat adalah :

Rp 1.200 dari setiap area tanah basah

Rp    800 dari setiap area tanah kering

Apabila dijumlahkan, seluruh penghasilannya adalah Rp 27.000. berapa luas masing-masing jenis tanah yang dimiliki pak W ?

Persoalan ini mempunyai dua variabel yakni x (tanah basah) dan y (tanah kering). Karena luas seluruhnya 40 are, maka dapat ditulis sebuah persamaan :

X + y = 40 ............ (1)

Karena pak W menanami separuh tanah basah dan seluruh tanah keringnya, dimana penghasilan dari setiap are tanah basah adalah Rp 1.200 dan setiap are tanah kering adalah Rp. 800 serta jumlah penghasilan adalah Rp. 27.000 maka dapat ditulis sebuah persamaan:

1200 () + 800 (y) = 27000

Atau

600x + 800y = 27000........ (2)

Nilai x dan y dapat dihitung dengan menghubungkan kedua persamaan diatas :

Persamaan 1 : x + y = 40......................... x 600

                      2 : 600x + 800y = 27000.........x 1

                           600x + 800y = 24000

                           600x + 800y = 27000

                                         200y = 3000

                                                 Y = 15

                                                 X = 40 – 15 = 25jadi,

Jadi, pak W mempunyai 15 are tanah kering dan 25 are tanah basah.

Persoalan-persoalan 1 dan 2 diatas dikatakan sebagai suatu persoalan yang mempunyai jawaban tunggal.

Umpamanya : tanah kering pak W 15 are, jawaban ini sudah pasti dan tidak ada jawaban lain. Seandainya ada tanah kering seluas 16 are atau 14 are tentunya bukan milik pak W.

Berikut ini kita akan menemukan persoalan-persoalan yang lain biasanya persoalan ini disebut permasalahan dengan jawaban gambar. Untuk menjawab pertanyaan itu, sebaiknya kita coba pahami persoalan berikut ini :

Persoalan 3

Pabrik baja BAJA SARI mempunyai bahan mentah besi baja sebanyak 18 ton yang siap untuk diproses. Pimpinan pabrik telah menyetujui sebuah kontrak untuk pembuatan sekurang-kurangnya 7,6 ton mur dan baut dari bahan yang tersedia. Selama produksi berlangsung, 5% baja hilang (dalam proses). Selain membuat mur dan baut pabrik baja BAJA SARI dapat menjual besi baja (berwujud bahan mentah) ke pabrik lain. Berapa jumlah maksimum besi baja yang dapat dijual sebagai bahan mentah sementara kontrak tetap berjalan ?

Sepintas lalu tampak seolah-olah persoalan 3 adalah sama dengan persoalan 1 yang telah disajikan dimuka. Tetapi sebetulnya tidak. Antara persoalan 1 dan persoalan 3 terdapat perbedaan yang jelas. Pada persoalan 3 kita diperkenalkan dengan kata-kata “sekurang-kurangnya” dan “jumlah maksimum” yang tidak terdapat pada persoalan 1.

Perhatikan kata : sekurang-kurangnya 7,6 ton. Perkataan tersebut memberikan arti bahwa pabrik tersebut boleh membuat mur dan baut berapun asal tidak kurang dari 7,6 ton.

a.       Seandainya pabrik itu menghasilkan 7,6 ton maka bahan mentah yang diperlukan dapat dihitung sebagai berikut :

Misalkan bahan mentah yang diperlukan adalah x ton, karena5% hilang dalam proses berarti yang menjadi mur dan baut adalah 95%

Sehingga : 0,95 x = 7,6

                                X = 8 ton

Dengan demikian besi baja yang dapat dijual berwujud bahan mentah adalah sebanyak :

(18 - 8) ton atau 10 ton

Apabila pabrik menggunakan semua bahan mentah yang tersedia untuk menghasilkan mur dan baut, akan dihasilkan mur dan baut sebanyak :

(0,95 x 18) ton atau 17,1 ton

Besi baja yang dpat dijual berwujud bahan mentah sudah tidak ada persoalan ini digambarkan sebagai berikut:

 

  A                                              B                                                                      C

 

0              2              4              8              10           12           14           16           18

Keterangan :

1.       Karena pabrik harus menghasikan sekurang-kurangnya 7,6 ton mur dan baut,  yang membutuhkan 8 ton bahan mentah, maka garis AB adalah jumlah bahan menhtah minimun yang diperlukan untuk produksi

2.       Karena  bahan mentah yang tersedia adalah 18 ton, maka jumlah yang dapat dipakai sebagai bahan mentah paling banyak adalah 10 ton. Atau : jumlah maksimum yang dapat dijual dalam bentuk bahan mentah adalah 10 ton ditunjukkan oleh garis BC.

Pada persoalan 3 diatas kita sudah mulai dihadapkan pada masalah yang misasi, yakni berupa pemilihan kombinasi tang terbaik antara bahan mentah yang akan diproses menjadi baut dan mur dan bahan mentah yang akan dijual kepada perusahaan lain.

Persoalan diatas dikatakan sebagai suatu : permasalahan dengan jawaban ganda. Tidak ada suatu jawaban pasti berapa jumlah yang dapat dijual oleh pabrik baja BAJA SARI berwujud bahan mentah. Pabrik dapat menjual sebanyak 1, 2, 3, sampai 10 ton. Untuk lebih jelas, kirta tinjau persoalan berikut ini.

Persoalan 4 :

Pak W adalah seorang petani yang cukup kaya, ia mempunyai 40 are tanah yang terdiri dari :

                                25 are tanah basah, dan

                                15 are tanah kering

Ia mempertimbangkan untuk menanami seluruh tanah kering dan sebagian tanah basah yang dimilikinya dengan jagung. Untuk itu ia membutuhkan perlengkapan-perlengkapan seperti traktor tangan, dan lain-lain. Untuk membeli perlengkapan-perlengkapan tersebut, dipinjamnya uang dari sebuah bank. Bank meminta jaminan berupa tanah basahnya yang tidak ditanami. Jumlah pinjaman dihitung berdasarka luasnya jaminan dari setiap are tanah basah sebagai jaminan, ia akan menerima Rp 480,-

Pendapatan yang diharapkannya adalah :

                                Rp 1200 dari setiap are tanah basah, dan

                                Rp    800 dari setiap tanah kering

Sedangkan modal yang dibutuhkan adalah

Rp 240 untuk setiap tanah basahn, dan

Rp 200 untuk setiap tanah kering

Apabila pak W mengharapkan pendapatan yang maksimum, berapa are tanah basah miliknya yang harus dijadikan jaminan ?

                Persoalan 4 ini mulai secara jelas mengemukakan suatau masalah imisasi, yang berupa maksimasi keuntungan. Perhatikan perhitungan-perhitungan berikut:

Pendapatan bersih setiap are tanah basah adalah Rp 1200 – Rp 240 = Rp 960. Sedangkan pada setiap are tanah kering adalah Rp (800 - 200) = Rp 600. Luas tanah yang akan dijadikan jaminan pinjama pada bank adalah x are, sehingga besarnya pinjaman yang akan diberikan bank adalah sebesar Rp 480x

Karena setiap are tanah basah membutuhkan modal sebesar Rp 240 dan setiap are tanah kering sebesar Rp 200 maka akan diperoleh persamaan sebagai berikut :

                (25 - x) 240 + (15)(200)   = 480x

600 – 240x + 300                = 480x       

                                                9000      = 720x

                                                            X = 12,5

Jadi, luas tanah basah yang harus dijadikan jaminan agar mendapatkan yang maksimum adlah seluas 12,5 are. Berapa pendapatan tersebut ?

Tanah basah yang digarap tinggal seluas (25 – 12,5) are = 12,5 are. Tanah kering seluas 15 are. Karena tingkat pendapatan per are tanah basah adalah Rp 1200 dan Rp 800., untuk setiap are tanah kering maka pendapatannya:

(12,5)(1200) + (15)(800)

15000 + 12000                    = Rp 27000

Tentu saja pak W dapat menggunakan lebih dari 12,5 are tanah basahnya sebagai jaminan untuk memperoleh pinjaman yang lebih besar. Tetapi akibatnya, luas tanah yang digarapnya akan berkurang, dan pendapatan totalnya juga akan berkurang.

Bukti :

Andaika luas tanah basah yang dijadikan jaminan adalah 20 are. Sehingga pinjaman dari bank adalah Rp (20 x 480) = Rp 9600. Jumlah ini lebih besar daripada modal pinjaman yang diperoleh dengan jamina 12,5 are tanah basah, yakni (12,5 x 480) sebesar Rp 6000. Tetapi luas tanah garapannya akan berkurang menjadi :

(25 - 20) = 5 are tanah basah, dan

15 are tanah kering

Hingga pendapatan totalyang akan diperolehnya menjadi

(5)(1200) + (15)(800)

6000          + 12000              =  Rp 18000

Sebaliknya, bila pak W menggunakan tanah basahnya sebagai jaminan dengan luas kurang dari 12,5 are, maka ia akan kekurangan modal, dan akhirnya total pendapatan akan berkurang juga.

Dari keempat persoalan sederhan diatas dapat ditarik suatu gambaran persoalan sederhanan yang dipecahkan secara matematis. Tentusaja persoalan yang timbul seringkali tidak sesederhana contoh tersebut. Persoalan yang timbul kadang-kadang memaksa seseorang untun menggunakan perhitungan-perhitungan yang lebih rumit. Akibatnya, untuk persoalan-persoalan tersebut diperlukan alat alat analisa yang lebih lengkap seperti tehnik linear programming yang sedang dibicarakan ini